有限数学例

$9 y - 5 x = 3$ , $x + y = 1$ , $z + 2 y = 2$

ステップ 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$9 y$ と $- 5 x$ を並べ替えます。

$- 5 x + 9 y = 3$

$x + y = 1$

$z + 2 y = 2$

ステップ 1.2

$z$ と $2 y$ を並べ替えます。

$- 5 x + 9 y = 3$

$x + y = 1$

$2 y + z = 2$

$- 5 x + 9 y = 3$

$x + y = 1$

$2 y + z = 2$

ステップ 2

連立方程式を行列形式で表します。

$[\begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$

ステップ 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

Write $[\begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 3.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 3.2.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 3.2.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 3.2.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 3.2.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 3.2.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.4

$0$ に $| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 0 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.5

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 + 0 + 1 (- 5 \cdot 1 - 1 \cdot 9)$

ステップ 3.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 1 (- 5 - 1 \cdot 9)$

ステップ 3.5.2.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$0 + 0 + 1 (- 5 - 9)$

ステップ 3.5.2.2

$- 5$ から $9$ を引きます。

$0 + 0 + 1 \cdot - 14$

ステップ 3.6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 14$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 - 14$

ステップ 3.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 14$

ステップ 3.6.3

$0$ から $14$ を引きます。

$- 14$

$D = - 14$

ステップ 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

ステップ 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 9 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 2 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2.4

$| \begin{array}{c} 3 & 9 \\ 1 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 + 0 + 1 (3 \cdot 1 - 1 \cdot 9)$

ステップ 5.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 1 (3 - 1 \cdot 9)$

ステップ 5.2.4.2.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$0 + 0 + 1 (3 - 9)$

ステップ 5.2.4.2.2

$3$ から $9$ を引きます。

$0 + 0 + 1 \cdot - 6$

ステップ 5.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$- 6$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 - 6$

ステップ 5.2.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 6$

ステップ 5.2.5.3

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6$

$D_{x} = - 6$

ステップ 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

ステップ 5.4

Substitute $- 14$ for $D$ and $- 6$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 6}{- 14}$

ステップ 5.5

$- 6$ と $- 14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- 2$ を $- 6$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 (3)}{- 14}$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$- 2$ を $- 14$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 7}$

ステップ 5.5.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 7}$

ステップ 5.5.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{7}$

ステップ 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 6.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$0 + 0 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2.3

$0$ に $| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 0 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2.4

$| \begin{array}{c} - 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 + 0 + 1 (- 5 \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

ステップ 6.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 + 1 (- 5 - 1 \cdot 3)$

ステップ 6.2.4.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 + 0 + 1 (- 5 - 3)$

ステップ 6.2.4.2.2

$- 5$ から $3$ を引きます。

$0 + 0 + 1 \cdot - 8$

ステップ 6.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$- 8$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 - 8$

ステップ 6.2.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 8$

ステップ 6.2.5.3

$0$ から $8$ を引きます。

$- 8$

$D_{y} = - 8$

ステップ 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

ステップ 6.4

Substitute $- 14$ for $D$ and $- 8$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 8}{- 14}$

ステップ 6.5

$- 8$ と $- 14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$- 2$ を $- 8$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 (4)}{- 14}$

ステップ 6.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$- 2$ を $- 14$ で因数分解します。

$y = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 7}$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 7}$

ステップ 6.5.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4}{7}$

ステップ 7

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 5 & 9 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 7.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 7.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.9

Add the terms together.

$- 5 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 7.2.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} |$ をかけます。

$- 5 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

ステップ 7.2.3

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 5 (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

ステップ 7.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- 5 (2 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

ステップ 7.2.3.2.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 5 (2 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

ステップ 7.2.3.2.2

$2$ から $2$ を引きます。

$- 5 \cdot 0 - 1 | \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} | + 0$

ステップ 7.2.4

$| \begin{array}{c} 9 & 3 \\ 2 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 5 \cdot 0 - 1 (9 \cdot 2 - 2 \cdot 3) + 0$

ステップ 7.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1.1

$9$ に $2$ をかけます。

$- 5 \cdot 0 - 1 (18 - 2 \cdot 3) + 0$

ステップ 7.2.4.2.1.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$- 5 \cdot 0 - 1 (18 - 6) + 0$

ステップ 7.2.4.2.2

$18$ から $6$ を引きます。

$- 5 \cdot 0 - 1 \cdot 12 + 0$

ステップ 7.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0 - 1 \cdot 12 + 0$

ステップ 7.2.5.1.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$0 - 12 + 0$

ステップ 7.2.5.2

$0$ から $12$ を引きます。

$- 12 + 0$

ステップ 7.2.5.3

$- 12$ と $0$ をたし算します。

$- 12$

$D_{z} = - 12$

ステップ 7.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

ステップ 7.4

Substitute $- 14$ for $D$ and $- 12$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 12}{- 14}$

ステップ 7.5

$- 12$ と $- 14$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$- 2$ を $- 12$ で因数分解します。

$z = \frac{- 2 (6)}{- 14}$

ステップ 7.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

$- 2$ を $- 14$ で因数分解します。

$z = \frac{- 2 \cdot 6}{- 2 \cdot 7}$

ステップ 7.5.2.2

共通因数を約分します。

$z = \frac{- 2 \cdot 6}{- 2 \cdot 7}$

ステップ 7.5.2.3

式を書き換えます。

$z = \frac{6}{7}$

ステップ 8

連立方程式の解を記載します。

$x = \frac{3}{7}$

$y = \frac{4}{7}$

$z = \frac{6}{7}$

有限数学 例

有限数学例